無限抵抗器のグリッド！単純なのに奥深すぎるテーマ
引用元：https://news.ycombinator.com/item?id=44279181
俺はちょっと数学者で、ちょっと電気技師なんだ。電気技師としては、電流を流さないと測定できないし、電流を流した後「いつ」なのかも気にしちゃうって言うんだ。分散したインダクタンスや容量、電場の伝播速度を考えるとね。それを聞いた数学者はバーに行って強い酒を飲むらしいよ。
無限の抵抗器グリッドがあったら…惑星とかってできたりすると思う？
たぶんブラックホールに崩壊すると思うな。ブラックホールの質量は半径に比例するけど、グリッドの質量は半径の2乗に比例するからね。
最終的には物理学者も必要になってくるだろうね。物理学者は、十分遠い距離では量子効果が支配的になって、一部のノードでは1秒間に流れる電子の数（つまり電流）が0か1になっちゃうって指摘するだろうから。
ここで俺がよく分かってないのが、これがそれ自体の宇宙にある無限グリッドだと仮定したら、何も動けないってことなんだよね。全ての方向から同じ重力があるはずだから。グリッドが完璧なら、崩壊のきっかけになるような核生成サイトもないし、完璧なバランスが保たれる。俺たちの宇宙も似たようなもんで、インフレーション期の小さな量子のゆらぎがなかったら、今の宇宙ができるまでもっと時間がかかっただろうって考えられてるよ。
その意見には抵抗しますね。
＞電気技師は、電流を流さないと測定できないし、電流を流した後「いつ」なのかも気にする
過渡応答が全部収まって、定常状態になるまで無限に待てばいいだけだよ。グリッドは設計通りの状態になるさ。
シュレーディンガーの猫ってFourier transformsも勉強するのかな？
無限グリッドはブラックホールになるかもって話だけど、最初から潰れるわけじゃないんだ。超大質量ブラックホールは密度が低いし、重力の勾配も緩やか。質量は特異点に集まるけど、すぐに超高密度になるわけじゃないみたい。けっこう長い間普通の状態を保てるんだって。
＞apply current
ちょっと話がそれるけど、工学だと「電流を加える（apply current）」って言い方は珍しい気がするんだ。普通は「電圧を加える（apply voltage）」とか「起電力（electromotive force）」って言うのが一般的だよ。
電気技師なら作業台の10x10グリッドで99％の答えを出すし、技術者は予算が尽きるか物理学者の締め切りが来るまで抵抗器を追加する。難しいのは、どれだけはんだ付けエラーがあっても中心の抵抗測定で検知できるかって問題だね。導電性構造物の亀裂検知にも応用できるかもって話も聞いたことあるよ（カーボンファイバー潜水艦とか）。
実際、別の問題があるかも。ダークエネルギーがグリッドをバラバラにするかもしれないんだ。そうなると、その破片はブラックホールになるのかって問題だね。完全にバランスが取れてないなら、そうなるだろうと思うけど。
抵抗器って重い元素でできてるんだよね。で、確か全部鉄になろうとする傾向があるんだったかな（軽いのはくっつく、重いのは壊れる）。まぁ、無限のエネルギー（！）があるなら、何だって可能かもしれないけどね。
QEDは詳しくないんだけど、二重スリット実験みたいに部分的な電子が両方の経路を通るってシナリオになる気がするんだ。どっちを通ったか知ろうとすると抵抗に影響しちゃうけど、問題解決には経路は関係ない。両方の経路が抵抗に貢献するんだ。量子効果は、確率が部分粒子の近似にならない場合だけ心配すればいい。この場合、物理学者は安心してバーで数学者と飲めるね。
直感的に、この手の問題は大学で出てきた時に理論的なだけのくだらない話だと思ってたんだ。でも、あの奇妙な効果（訳注：前のコメントのことかな？）は考えてなかったな！問題の説明が無意味に思えて、無限の縁を理解できなかったから「分からなくても仕方ない」って気になってきたよ。
抵抗はもともとエネルギーを失わせるものだから、電子がまとまった経路を取ることはないよ。量子効果はここでは関係なくて、電子は常に抵抗の格子と相互作用してるんだ。
1+1次元なら、無限に続く「…線材-抵抗-線材-抵抗…」の重力的な振る舞いをBell’s spaceshipを応用して解析できるんだ。Raychaudhuri方程式で、拡張が正なら膨張、負なら収縮。ゼロだとJeans不安定性になるね。
高次元だと回転やせん断も重要で、ブラックホールができたり、準銀河の輝くフィラメント構造ができたりするかも。数値シミュレーションしたら面白そう。（URL: ＜https://en.wikipedia.org/wiki/Raychaudhuri_equation#Mathemat…＞）
回路図には2つの解釈があると思うんだ。部品が物理的なものを表す場合と、理想的なオームの法則デバイスを表す場合。無限抵抗格子は後者の理想化された解釈でしか存在しないよ。
0/1にぴったりなることはないと思うな。電圧差があると、全ての電子が少しだけ特定の方向に動きやすくなるだけ。遠くに行くと測定できないくらいわずかなドリフトだけど、全ての電子が影響を受けるんだ。
この質問は現実的であるフリをしてないよ。無限の抵抗グリッドを作れるなんて誰も思ってない。これは単純に、方程式を操作する数学的能力と全体的な理解度を測るための、かわいい思考実験なんだ。この評価は、もっと現実的なシナリオにとっても意味があるし、成績やエンジニアリング能力にもつながるんだよ。
ちょっと待って、もし自分たちが抵抗器だっていう主張に抵抗したら、そいつらは抵抗器なの、それとも違うの？
たぶん半導体かな。
もしかしたら鉄道の分岐点で働いてるのかもしれないね:D
これが現実世界の問題に関係ないって思う人もいるけど、実は関係あるんだ。
まあ、計算全部が関連するわけじゃないけど。
シリコン基板の抵抗率は、ICの局所的な点に関係する距離だと、基本的に無限に広がる単位抵抗のグリッドみたいなものなんだ。
シリコン基板はよく高濃度にドープされてて(P型とか)、ファブから得られる情報は抵抗率だけ(だいたい1から100オーム×cm)。
最先端の技術ノードだとよく10オーム×cmだね。
基板を経由したノイズ結合について直感を得たいなら、A点とB点の抵抗を計算するだけじゃなくて、それをグリッドとして考える必要があるんだ。
ノイズの多い電流を集めるために基板コンタクトのグリッドを配置する必要もあるし、ここでもまたグリッドが出てくるんだ！
議論したいのは、君が説明してるケースは、連続だからこそ数学的により単純なんだってことかな。
そうだね、でも連続の解って離散的なものの極限条件なんだよ。
少なくとも＜ruby＞カカラス＜rt＞Calculus＜/rt＞＜/ruby＞で知ってる限り、それで難しくなったり簡単になったりはしないんだ。
ソフトウェアツールはこの種の問題を解くのに数値計算を使うんだよ。
そして連続的な基板を離散的な要素のメッシュに分割して、集中定数回路要素としてモデル化するんだ。
そうすれば行列で表現して線形代数を使って回路をシミュレーションできるんだ。
彼らはよくアルゴリズムにランダムウォークを使って、最小のエラーになるメッシュを見つけるんだよ。
そうだ、なんで4方向接続のグリッドなんだろう？
8方向とか、他のトポロジー、例えばヘックスグリッドとかじゃなくて。
君が説明してるのは、実質的に＜ruby＞カカラス＜rt＞Calculus＜/rt＞＜/ruby＞の発明を言ってるようなもんだね。
抵抗率の単位はオーム*cmだよ。
オーム/cmじゃないよ。(昔＜ruby＞フェアチャイルド＜rt＞Fairchild＜/rt＞＜/ruby＞で長いこと働いてたんだ)
個人的には、もっと教育的な質問は1オーム抵抗の立方体の対角線間の抵抗だと思うな。回路の対称性とかKCLとか、良い直感が身につくよ。無限グリッドは、入門クラスで解けそうに見えて、実は数学的な難問すぎる。
これ、俺のEE専攻で嫌いだった問題だわ。教授たちはこういう思考実験が大好きだったんだよね。
この問題は一度だけ見たよ。最初のEE入門コースの期末試験で、4問中の1問目だった。無限はしご抵抗は習ってたけど、この問題にその知識を応用するのはかなり飛躍してるように思えたな。
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単純な対称性ベースの解法で全然分からなかったのは、「正と負のノードの電流場を別々に扱えると仮定するなら」ってとこなんだ。2ノード解法（非対称）の電流が、2つの1ノード解法（対称）の電流の単純な合計になるのはどうして？
2ノード解法にも対称性はあるけど、全方向に電流が同じだと推論できるような元の対称性はないよね。
Maxwell方程式は電場と磁場に関して線形だから、場やポテンシャルを足したり引いたりできるんだよ。干渉や光学グレーティングが機能するのと同じ理由だね。
対称性＋重ね合わせの解説で一つ分からないことがあるんだ。なんで隣接ノードにアルファ - ベータ - アルファってなるの？アルファ - アルファ - アルファじゃないの？つまり、なんで一つの方向だけが他と違って特別扱いされてるの？
まず、電流をi_1からi_12と置いて、全部違う可能性があると仮定してみて。ただし、問題は垂直軸について対称だから、図を反転させてみて。反転したパスを通る電流は反転前と同じはずで、これでどのiが等しいか書き出せるよ。
水平軸についても対称だから同じことやって。90度回転させても対称だからそれもやる。
そうすると、たくさんの等しいiが出てきて、それを二つの異なるグループに分けられるんだ。それをアルファとベータと呼ぼう。
変な話だけど、物理学の学部生の時、チームでパーコレーション理論とその“テスト”のプロジェクトがあったんだ。伝導性インクでグリッドを作って、抵抗器を欠落させたんだ。均一なインクを作るのが大変だったよ。XYプロッターのソフトを全部書いて、抵抗を測定したんだ。
数学はそんなに得意じゃないから記事全部は追えなかったけど、電子機器の仕事をしてる直感では、量子化されたシステムが無限と相互作用するなら、無限は量子化された要因の大きさに制限されるんじゃないかな。電荷は量子化されてるし。だから無限抵抗グリッドは、投入される電荷の量によってサイズが変わる、実質的に有限のグリッドなんだ。
最初にそう思ったけど、よく考えると違う気がするんだ。電子は波でもあるし、その波はグリッド全体に広がる可能性があるからね。あと、無限グリッドの面白い点として、いつでもどこかに突発的な高電圧が存在するってことがあるよ。たぶん君からはすごく遠い場所だけど、それでも変だよね。
それは時間領域で個々のキャリアのノイズを見ている場合にだけ問題になるよ。多くの場合、一定の時間や空間での平均を気にするだけだからね（例えば、水のマクロな流れは個々の分子の速度とはかなり違うでしょ）。
「直感」と「無限」を同じ文に入れるって面白いね。無限について直感が形成される可能性が全くないわけじゃないのは、数学者くらいなもんだよ。
これは「シート抵抗」[1]の離散的なケースだよ。ここではノードにあたる任意の二点間の抵抗は同じになるんだ。昔大学のEEのカリキュラムでやったけど、解法の導出はもう覚えてないな。[1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance
余談だけど、Veritasiumにこれと似た、光の経路に関するすごい動画があったよ。僕が今まで見た中で最高の物理デモをやってる部分にリンクしとくね。https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500
残念ながら、あのデモは彼らが言うほどすごくないんだよ。余計な経路の光は、光源の出口回折によって「引き起こされている」。
同じ基礎理論は、有限な境界からは常に回折が生じ、光が実際に全ての可能な経路を取る現実と区別がつかない現実になることを説明するんだ。でも、実際にそうだと言うのは物理というより形而上学に近いかもね。レーザーの回折性能も物理的な限界からはほど遠いから、デモはさらに損なわれているよ。
だから、あのデモを見た皮肉屋は「それって単にレーザーからの光の一部が軸から外れてるだけじゃないの？」と言うだろうけど、まさにその通りなんだ。物理学によれば、光の一部は常に軸から外れるんだけど、あのデモはそれを全く証明していないね。
え、何言ってるの？
ここで回折ってどういう意味？ボケのこと？
レーザーは、勾配シートを光らせる前に空気以外の要素とは相互作用してないよ。そして、ここでの空気の誘電率は真空とほぼ同じだ。
だから、格子は彼らがうまく説明していない「半相殺」のせいで、どんなピンホール開口源[0]とも似た回折パターンを示すことになる。でも、経路にまだ要素がないから、我々が出せる唯一の結論はFeynmanのそれ、つまり光は実際全ての可能な経路を通って、そして相殺して我々が普通経験するレーザー光を作っているということだけだよ。
僕は何を見落としてるんだ？僕にとって、このデモはレーザーでも波動モデルが正しいことを示している点で、すごく驚くべきものなんだ。
[0] https://external-content.duckduckgo.com/iu/?u=https%3A%2F%2F…
上図の（a）みたいな感じだけど、これがまさにそれを正確に示しているか自信はないよ。
無限スケールでは、これは長方形ブロックのバルク方程式 R = rl＼A に帰着するよ。ここで rは抵抗率、lは長さ、Aはブロックの面積だ。
lもAも無限大。だから無限＼無限になって、これは未定義。つまり、これはくだらない問題だから、もっと役に立つことをしに行った方がいいってことだね。
これは大学一年生のEE学生向けには、ハイパスフィルターとしても知られてるね。
Re: 無限抵抗グリッド
同じ抵抗器でできた無限グリッドを取って、隣り合う二点間の抵抗を測ってみると、答えは約抵抗器一個の三分の一になるってことらしいよ。
噂によると、俺がNCSSMで習ったPhysicsの教授（Dr Brittonっていうんだけど）が、博士課程の時にこの問題に取り組んだらしいぜ。
この機会に、有限抵抗ネットワーク（グリッド含む）の俺の計算機[1]を紹介するぜ。Star-Mesh transformを使って、非終端ノードを一つずつ消去していくんだ。各点の正確な有理抵抗値を維持しながらね。[1] https:＼＼kirill-kryukov.com＼electronics＼resistor-network-solv…
バカな質問かもしれないけど、なんで真空って無限抵抗器のグリッドと考えちゃダメなの？
なぜなら、真空は実質的に超伝導体だからさ！速度を持った電子（や陽子）は永遠に直線で進み続けるんだ。これは背景の迷走磁場や重力場の影響は無視してるけど、大体の考え方は通用するよ。
積分のところに出てくるh_m(s)は、第一種のChebyshev polynomialsだよ。
脱線した質問なんだけどさ。なんで電流が特定の量しか通れないくらい細いワイヤーで抵抗器を作らないの？そうすれば電流を熱に変えるより効率的じゃない？
抵抗はV＼Iだよ。電圧がなけりゃ電流は流れないし（電圧が電流を流すか）、流れてる電流のパスに抵抗があればそこに電圧がかかる。電流が流れて電圧降下があるってことは電力（P=VI）だ。抵抗がその電力を熱として消費するのを避ける手立ては文字通り何もない。それが抵抗器ってもんだ。
できることと言えば、同じ電圧で必要な電流を減らすために抵抗値を大きくするか（例えばプルアップを10kΩから100kΩとかに）、あるいは特定の電流での電力降下を減らすために抵抗値を小さくするか（例えばミリオームレンジの電流シャントとか、その場合はもっと感度の高い入力回路が必要になる）だ。
あるいは、やりたいこと別の方法でやるかだね（例えばSwitched-mode power supplyは電圧を下げるのに電圧分圧器よりはるかに効率的だ）。これは普通もっと複雑で、面倒なアクティブ制御が必要になることが多いけど、電力に制約があるアプリケーションではやる価値があるし、最近の集積技術を使えば、たいてい必要なことを“魔法のように”やってくれるチップがあって、そんなに高くもないんだ。
それって薄膜抵抗器のことでしょ、そういうの存在するよ。でも、それも電流を熱に変えるだけさ。ある量の抵抗を持つ物質をある量の電流が流れると、Ohm’s lawに従って決まった量の熱が発生するんだ。そこから逃れることはできないんだよ。
ありがとう。じゃあ、抵抗器が熱を出さなきゃいけない物理的な理由ってあるの？電流は制限するけど、熱はほとんど出さない物質って、理論的には見つけられるのかな？解説聞いてもいつも混乱しちゃうんだよね。例えば、抵抗ゼロのショート回路には一定の電力があるとするじゃん。そこに抵抗器を加えると、回路の電力は下がるよね。でも、抵抗器はその電力の差を熱に変えてるわけじゃないんでしょ？
抵抗ゼロのショート回路なんてものはないんだよ、超伝導体以外のものは全部抵抗があるからね。もし魔法みたいな理想電圧源で抵抗ゼロだったら、無限の電流が流れちゃうことになる。
たとえばリチウムバッテリーをショートさせる話でいくと、バッテリーには大体50ミリオーム（0.05オーム）の「等価直列抵抗」ってのがあるんだ。
つまり、超伝導ワイヤー（抵抗ゼロ）でリチウムバッテリーをショートさせたとしたら、回路の抵抗は0.05オームってことになる。オームの法則I=V/Rで計算できるよ。Vはリチウムイオンバッテリーだと大体3.6ボルト、Rは0.05オームだから、I（電流）は3.6/0.05=72アンペアになる。72アンペア×3.6ボルトで259ワットだね。現実にはバッテリーの化学反応がもっと複雑に電流を制限するんだけど、この計算は、もしバッテリーが理想的な電圧源＋0.05オームの抵抗として働いて、化学反応からの余計な熱がないと仮定した場合、ショートしたバッテリーは259ワットの熱を出すってことを意味してる。
回路に1オームの抵抗器を加えてみると、回路全体の抵抗は1.05オームになる。またオームの法則で計算すると、電流は3.6/1.05≒3.43アンペアだね。3.43アンペア×3.6ボルトで12.35ワットの熱になる。
だから、抵抗器のおかげで、回路を流れる電流が制限されるから、259ワットじゃなくて12.35ワットの熱しか出なくなったんだ。もっと抵抗値の高い抵抗器を使えば、さらに熱は少なくなるよ。
ここで大事な考え方なんだけど、電力消費は熱に等しいんだ。なんで物理的にそうなるのかは分からないんだけど、「この装置は10ワットの電力を消費する」っていうのは「この装置は10ワットの熱を出す」っていうのと同じ意味なんだよ。抵抗が高くなると電流が減って、ワット数（電力）が減る。ワット数が減るってことは、熱も少なくなるし、電力消費も少なくなるんだ、だってそれは同じことだからね。
抵抗器は電流の「流れを制限する」んじゃなくて、同じ量の電流を「押し流す」のを難しくする（とでも言おうか）だけだよ。（電圧を上げれば、どんな抵抗器を通る電流だって大きくなるんだ。）
熱をあまり出さずに、印加される電圧に関係なく（常識的なレベルでね）電流を制限する方法はあるよ。それは、LEDの駆動やバッテリーの充電によく使われている、アクティブなスイッチングモードDC-DCコンバータみたいなやつだね。
単位を見ると分かりやすいよ。電圧は単位電荷あたりのエネルギーのこと。電荷が抵抗器を通る時にエネルギーが変わるんだけど、そのエネルギーはどこかへ行かないといけないんだ。全ての装置でいつも熱として失われるわけじゃないけどね。LEDでは、エネルギーの一部が光として「失われる」。でもやっぱり、LEDが生成する熱と光の合計パワーは、電流と順方向電圧の積に等しいんだよ。
もう一つ分かりやすい考え方として、熱は、光とか化学的なポテンシャルとか、他のすべてのエネルギー変換方法が使われた後に残ったものから生まれる、ってのもあるよ。エネルギーの最後のよりどころみたいなものかな。抵抗器の便利なところは、その単純な電圧-電流の関係にあるんだ。それは、熱だけを生成するっていうのと同じことなんだよ。
＞抵抗器が熱を出さなきゃいけない物理的な理由ってあるの？
こう考えてみてよ。抵抗器は定義上、熱を出すものなんだ。
君が説明してるのは、抵抗器じゃないんだよ。それは実際にはスイッチング電源みたいなものだけど、その物質の組成は君が求めていたより複雑だろうね。
こちらも見てみて → https://xkcd.com/356/
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-なんで数学者が3ポイント？
たぶんこのランキング（https://xkcd.com/435/）が元になってるんじゃないかな。数学者より下の全部が2ポイントなのかな？もしかしたら、もっと細かく点数が分けられてるのかも。
こちらも見てみてer https://youtu.be/zJOS0sV2a24?t=932
XKCDに触発されて、無限抵抗器のグリッド問題を自分の記事にしたんだ。この記事へのリンクは最後に貼ってあるけど、俺の記事はXKCDのパズルを解く話なんだよね。面白いから見てみて！
URL: https://sriku.org/posts/nerdsniped/
学生の頃なら頑張って解いただろうな。でも今は知りたきゃマルチメーターで測るだけだよ。その方が速いし、シンプルで実用的だもんね。
リアルで無限の抵抗器グリッドなんて、どこで探して測るっていうんだよ？無理だろ。
いろんなサイズのグリッドをいくつか測って、結果をカーブフィッティングしてみたら？近似できるかもよ。
満足できる結果を得るには、どれくらいの数のグリッドを試す必要があるんだろうね？結構な量になりそう。
すごく大きな抵抗器グリッドを作って、近似やカーブフィッティングを試した人いないかな？絶対YouTubeに動画ありそう！誰か知ってる？
ああ、これがあるよ！大きくカウントされるかは分からないけど、とりあえず最初の一歩かな。見てみて。
URL: https://www.youtube.com/watch?v=v1YrANSmOGY
100x100のグリッドで、端っこをデカい抵抗で終端させれば、中心部で測る限りは無限グリッドと同じに見えるんじゃないかな、と想像するんだけど。どう思う？
なんでEEの教育ってこういう問題重視するんだろ？昔からキルヒホッフとかテブナンで複雑な問題を解かせるのは学生いじめだったよ…。これは電子的な問題じゃなくて、「線形方程式の無限グリッド」っていう純粋な数パズルだよね。知りたいと思ったことはないけど、熱中してる人を批判はしないよ。
「今も学生をこんな風にいじめてるのか」って言おうとしたけど、2007年に回路やったの思い出してやめた。俺の知識も古いかもな…。でもこれ、俺のキャリアにとって不思議なバタフライエフェクトなんだよね。回路1の先生が最高で、EEに専攻変えて、その後学位を2つも取ったんだ。
