新種の多面体を発見！どう投げても同じ面が上になる不思議な性質！
引用元：https://news.ycombinator.com/item?id=44381297
論文にこう書いてあるんだって
「難しかったのは、この物体の物理的な実現だった。二番目の著者（今は失われた）は鉛の箔と細く割った竹でモデルを作ったんだ。それはある面から他の二つの面を経て、最終的な静止位置に転がるように見えた」
そのモデル、僕持ってるよ…ボブ・ドーソンとケンブリッジにいた時に一緒に作ったんだ。彼に連絡してみるべきかな。
論文はここだよ: https://arxiv.org/abs/2506.19244
HTML版のコンテンツはここにあるよ: https://arxiv.org/html/2506.19244v1
写真見れると最高だね！
ちょっとページを作ってみたよ:
https://www.solipsys.co.uk/ZimExpt/MonostableTetrahedron.htm
写真が直接見れるのを期待してたんだけど、jpgはリンクになってるんだね。あなたのブログ、以前は自作CMSを使ってて、数式とかもっとサポートしてた記憶があるな。画像はできないの？
みんな僕のウェブサイトがしょぼいって文句言うんだよね、だから今回は内部のzim-wikiからページをエクスポートしただけなんだ。うん、写真は載せられるけど、サイズとか位置を全然コントロールできないから、みんながクリックして見れるようにリンクにしてるんだよ。
今は仕事中で、会議の真っ最中だから、これ以上何もする時間がないんだ。
正直言って、画像を埋め込む代わりにクリックできるリンクにするのは、何も問題ないと思うな。
画像リンクは気にならないよ。ただ、テキストの太さとコントラストはちょっと改善が必要かもね。
投稿ありがとう！もし時間があったら、後でYouTube動画も見たいな！
あなたのサイト、すごくいいよ、ありがとう。でも、Internet Archiveに保存できなかったんだよね: https://web.archive.org/save/https://www.solipsys.co.uk/ZimE…
「Save Page NowはこのURLにアクセスできなかったため、キャプチャできませんでした。サイトがオンラインの場合でも、当サービスからのアクセスをブロックしている可能性があります。」って出たんだ。
面白いね…そして困惑するよ。僕は単にzim wikiからエクスポートしただけで、特別なことは何もしてないから、なぜInternet Archiveが文句を言うのか全然分からないんだ。
で、みんながひどく文句を言うのは、僕のサイトの別の部分なんだよね:
https://www.solipsys.co.uk/new/ColinsBlog.html?yf26hn
これ、『形』とは言えないんじゃない？重心をすごく調整してるから、それが効いてるんでしょ。物体とか剛体って呼ぶべきだよ。
どっちも正しいよ。
機能させるには、ポリゴン、ここでは三角形でできた多面体が必要で、どの向きでもどれか一つの三角形の重心が底面から外れてなきゃダメ。じゃないと重さで倒れないでしょ。
ある向きで最初に後ろに傾くのは、重心がテトラポッドの右端の範囲内だけど、後ろの端の範囲外だから。だから後ろに傾いて、それで底面が狭まって右に倒れて落ち着くんだよ。
記事は、重さを不均一にしても非自明な問題だってうまく説明してるね。でも確かに、『形』っていうよりずっと特殊なことだと思う。形って密度情報がない単なる幾何学だから。
別の言い方をすれば、同じ正確な形で作られたほとんどのものは、この性質を示さないだろうね。
中に重りが入ったボールは、いつもその重りのある側を下にして止まるよね。これと同じことじゃないの？
そうそう、ボールではできるって知ってたけど、ピラミッドでできるかって話なんだよ。普通ピラミッドには安定する面が最低二つはあるように思えるけど、このグループは安定する面を一つだけにする方法を見つけたんだ。
最後に確認したけど、球体も形だよ。でも記事は『ピラミッドのような形』って言ってるね。
うん、でも今回の課題は角を丸くせずにそれを達成することだったんだよ。
これはGömböcとは全く違うカテゴリのものだよ。だって密度が均一じゃないんだもん。質量のほとんどが底板に集中してるらしいよ。
これ、3Dプリントのデータかも？
ファイルはここにあるよ→https://www.thingiverse.com/thing:1985100/files
3Dプリンターで作ってもちゃんと機能するのかな？インフィルのオプションとか密度の違いで、どのくらい変わるんだろう？
ちゃんと動くようにするには、インフィルを100%にする必要があるよ。俺は結構ヤスリがけして、ほぼ動くようになった感じ。
これ、FDMプリンターで作るのは無理なんじゃないかな、って勝手に思ってるんだけど。
記事の「ほとんど中空で重心を慎重に調整した四面体」についてだけど、剛体にとって密度が均一かどうかは問題じゃないんだ。
重心が同じ場所にくるようにすれば、振る舞いも同じになるはずだよ。
もしオブジェクトが均一密度で、凸状で、中空がないって条件なら、形を変える以外に重心の位置を選ぶことはできないと思うな。
それ違うよ。写真を見てごらん。外形が同じなら、形状としてはそれで十分なんだ。
重心だって、中の棒の位置や太さ、平らな面＜ファセット＞のサイズと場所を調整すれば、中が詰まった均一密度のオブジェクトと同じ重心にできるんだよ。
記事にも「重心を慎重に調整した」って書いてあるでしょ？
内部で相互作用がない限り、重心に関してはどうやって均一密度相当にしたって、振る舞いは変わらないんだよ。
「内部の相互作用がなければ、重心に関してはどうやって均一密度相当にしても、振る舞いは変わらない」
それはその通りなんだけど、これ、小さい部分にすごく重い材料、他の部分にすごく軽い材料を使ってるんだって。だから、この場合、重心が多面体のほぼ一つの面にきちゃうんだよ。
写真見てるけど、この多面体には空洞があるね。その空洞（めっちゃ軽い部分）が重心を決めるのに大事なんだって。
コンウェイがポロッと思いつきを言って、60年後に誰かがマジで作っちゃうって… これぞ数学のストーリーテリングの最高潮だね！
メンデレーエフを思い出したよ。彼は新しく発見された元素が間違ってるって主張したんだ。「俺が考えたやつと違う性質だから、発見したやつは分かってない」ってね。結果的にメンデレーエフが正しかったんだけどさ。
最悪のD-4だね！冗談はさておき、重心が偏ってて’ナイフエッジ’みたいなバランスの多面体ってどこまで作れるんだろう？
1）重さが不均一で、ちょうど2つの面に安定するやつ。
2）そのうち片方の面がめっちゃ安定してて、不安定な面に乗ってても、揺らすと安定する面に移動するやつ。
これって改ざん検出器として使えそうじゃない？
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冗談でしょって言うかもだけど、俺が知ってるDNDプレイヤーはサイコロ中毒でさ。D-1メビウスの帯サイコロ見せびらかすのが大好きだったんだよ。
https://www.awesomedice.com/products/awd101?variant=45578687…
なぜか俺が#1ビリヤードボールを勧めたら嫌な顔されたけどね。
いいね！ - どんな球でもいいんだね。
ピンポン玉とか最高じゃない？ DM/GMがプレイヤーに投げつけて雰囲気出せるし、脳天直撃しないしね！(ビリヤード)
＞改ざん検出器として使える
もしこれマジで探してるなら、壊れやすい荷物向けの傾き・衝撃インジケーターをチェックしてみてよ。
https://www.uline.com/Cls_10/Damage-Indicators
https://www.youtube.com/watch?v=M9hHHt-S9kY
この衝撃ウォッチとか傾きウォッチって結構高いんだね。これ使うのがペイする荷物って、どんだけ価値があるんだろう？
球はダメだよ、転がっちゃうじゃん。記事の形はいいけど作るのが大変すぎるし。重り入れるのはズルだしね。D1としては、たぶん記事でも出てくるゴンベクが一番いいんじゃないかな。
厳密に言えば、ゴンベクはD1.00…001だね。
D2のリンクがあったんだけど、クリック前はコインのことかと思ってた。でも、コインって厳密には（めちゃ偏ってるけど）D3なんだねって気づいたよ。
へぇ、D2ってどんな形だったの？めっちゃ気になるんだけど！
そうなる（端っこで止まる）のって、無限に可能性が低い、測度ゼロの集合だよね。
詰まった背の高い円錐が、求めてる形にかなり近いと思うな。多面体にするには、ちょっと調整がいるだろうけどね。
レンチキュラーって形かな？要は、円筒の外側の面を曲面にしてなくす感じ？
ゲンベシュと同じ性質だね。でもゲンベシュは不安定な軸が1つだけだけど、普通のD6サイコロは20個（辺が12、頂点が8）でバランスするんだよ。
そうなんだよね、俺もそう思った。でもそれって、実際にはめっちゃ細い3番目の辺があるD3みたいなもんなんだよな。本当にD2って言える賢い形はないのかなって考えてた。もしかしたら、現実だとメビウスの帯なのかなぁ。
頂点は軸じゃないよ！次元が違うんだってば！
あるいは、メビウスの帯とかもね。
「mono-monostatic」ってのがキーワードらしいよ。「Gömböc」って非多面体の例や、21面のmono-monostatic多面体のPDFもあるって！面白いね！
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6mb%C3%B6c
https://arxiv.org/pdf/2103.13727v2
円錐って底面が一番安定してるけど、少しずれても底面に戻る安定した位置ってあるのかな？記事の多面体みたいに一つの面で安定するって話に関係あるかもね。
サイコロは必ず止まるけど、球は基本的に安定して止まらないよね。もし止まっても不安定。だから球は投げる前から結果がわかる「1D」としてしか機能しないかもね。細かい話だけど面白い！
バランスするものを「バランスするもの」って呼ぼうよ。シンプルでしょ？
球形のD1（1面体サイコロ）って面白そう！プラトン立体みたいなサイコロって面の数が増えると球に近づくけど、究極的にはD1になっちゃうのかな？Dインフィニティってどうなるんだろう？多面体の限界って感じ？
D1（1面体サイコロ）ってさ、ビンゴボールのことじゃない？ずっとそう思ってたよ。
ドーナツに一面しかないってのは違うんじゃない？この記事のサイコロやD1 one-sided die（https://cults3d.com/en/3d-model/game/d1-one-sided-die）はメビウスの帯（https://wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip）に似てるけど違うらしい。ウンビリクトーラス（https://wikipedia.org/wiki/Umbilic_torus）かも？「面」って言葉、あいまいだね。
改ざん検出器として使うって話だけど、それって別に多面体じゃなくても良くない？多面体である必要あるの？
ドーナツには面が二つあるんだよ。みんな知ってるでしょ？内側と外側！
面がゼロに近づく極限だとD1じゃなくてD-infinity、つまり球になるんだって。球を投げると接地点の真上が上を向くけど、無限小の点は区別できないから全部同じ面って見なせるかもね。数学的には無限の点の集まりが球だよ。
”どんな球でもいいんだね”ってのがリンク先に載ってる内容だね。メビウスの輪は面白いけど、この製品は3Dで丸いエッジがある。その基準だと、他のサイコロもD1ってことになるよ。普通のD6の表面は2面だけど、読む6面は全部片方にあるんだ。
記事素晴らしいね！
動画見て面にプレートか重りがあるって気づいてちょっと熱が冷めたけど、
”均一な単安定四面体は不可能だけど、重さを偏らせたら？”って質問に進んで、
ジョン・コンウェイが出てきてまた引き込まれたよ！
着陸船のデザインを思い出したよ。最近のは常に横向きに着地する形になってるみたい？笑
最初はプレートのせいでイマイチかと思ったんだ。でもよく考えたら、正四面体だと一つの面がどんなに重くてもそんなことにはならないよね。
月着陸船をこの形で作ったらいいかもね :-)
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まさに彼らが論文で言及してる例だよ https://arxiv.org/abs/2506.19244。
そうすることもできるけど、普通のゴンボツで全然大丈夫だと思うよ。宇宙船に角を丸くしちゃダメってルールはないしね。
それよりカメの甲羅の外骨格とかの方が役立つかも。カメは足が短いから甲羅の下が完全に平らじゃないとダメなんだけど、ゴンボツには平らな面がないからね。坂道を走る乗り物も恩恵を受けそうだね。
ウミガメの甲羅って、この記事の数学者が見つけたGömböc（ゴömボöｃ）に似てるんだってさ（リンク見て！）。でも、特化した外骨格ならもっと性能上がるかもね、Oscar Pistorious（オスカー・ピストリウス）の義足みたいに！
記事に出てたGábor Domokos（ガーボル・ドモコシュ）って人が、QIっていう番組でこの話してたんだって！
動画のリンクここね→https://www.youtube.com/watch?v=ggUHo1BgTak
「宇宙船に角がないといけないルールはない」って話だけど、中に圧力がかかってるなら丸い方が有利だよ。角張ってると壊れやすいからさ。
「宇宙船に角がないといけないルールはない」って話さ。
誰かUNOOSAに手紙書いて、このルールをちゃんとしてもらわないとね！
記事にも書いてあったけど、それが研究者たちが取り組んでることみたいだね。
でも密度とか考えると多分四面体ベースじゃなくて、曲面になるんじゃないかな。
「倒れても勝手に起き上がる」って機能は、月にいるときにまさに欲しくなるやつだよね！
あと、牛とかにもね！
これドローンに使ったら、マジでSkynet（スカイネット）に一歩近づいちゃうね。
ぶつかったり落ちたりしたらプロペラが本体に引っ込むようにできるかも。
ただ、あの尖った先が柔らかい地面に深く刺さっちゃって、永遠の棒みたいにならないように気をつけないといけないね！
あるいは、飛行機に使うとかね。
翼をどこにつけるか分かんないけど。
なんで月だけに使うって考えるんだ？
最近、月面着陸機が着陸で失敗したり転倒したりする問題が結構あるんだ。だから、上のジョークはそこから来てるんだよ。
火星着陸機も失敗談多いんだよね。NASAのだとヤード・ポンド法とメートル法の変換ミスったやつとか、Beagle 2は無事着陸したのに機器がちゃんと動かなかったんだ。
見た目不安定なのに、めちゃくちゃ安定してるのがマジすごいね。この形見てると、バランスってホントは何だろうって考えさせられるよ。ただ力が釣り合ってるだけじゃない感じ。なんか、この形自体がどこに着地したいか分かってるみたいだよね。
じゃあ、これって俺のVansみたいなもん？
https://en.wikipedia.org/wiki/Vans_challenge
その多面体って、まあ幾何学の世界でいう、ちょっとおしゃれなVansみたいな感じだね。
密度が均一だとダメってのが、ちょっと残念だなあ。それより驚きなのは、そんなに極端な密度の違いが必要で、一つの材料で3Dプリントしたり穴開けたりじゃ無理だったってことだね。
ああ、それって、底が重くて、どんなに倒しても結局まっすぐ立つおもちゃに似てるんじゃない？
一番の違い、そしてそれが大事なんだけど、全部の面が平らなんだよね。
それ聞くと、面白い疑問が浮かぶね。どんな形と重さの配分なら、一番均一に近い動きになるか、あるいは均一性を最大化できるのかな？
なんか、弱いcarbon fiberの骨組みとtungsten carbideの板が必要だったり、ちょっとした接着剤の塊でもバランス崩れちゃうなんて、作るの結構大変そうだな。
