自分自身を貫通できない凸多面体、ついに発見！
引用元：https://news.ycombinator.com/item?id=45694856
arXivの論文「https://arxiv.org/abs/2508.18475」と、Hacker Newsの関連スレッド「Rupert’s snub cube and other Math Holes」（https://news.ycombinator.com/item?id=45261566 、2025年9月、10コメント）と「Rupert’s Property」（https://news.ycombinator.com/item?id=45057561 、2025年8月、23コメント）について言及してるよ。
この問題に対する解決策、面白いね。全部試すのは無理だから、どれか一つを選んで、その（非）解決策の性質がわかれば、同じ範囲の他のたくさんを除外できるってことか。
そういえば、数週間前にRupert’sやNopert’sの動画（https://www.youtube.com/watch?v=QH4MviUE0_s）を見たばかりだったから、この進歩に先駆けて偶然だね！
そんなに偶然じゃないよ。記事自体にtom7が言及されてるし、彼の動画の感動的な結論で、この記事で紹介されてる研究について最後に触れてるんだ。tom7も同じことを証明しようとしてたんだってさ！
彼は、すべての凸多面体がRupert’s Propertyを持つという予想を、snub cube（https://en.wikipedia.org/wiki/Snub_cube）が持たないことを証明して反証しようとしたんだ。snub cubeは、証明のために作られたNoperthedronよりもずっと“自然”なArchimedean solidだよ。もし彼がsnub cubeがRupert’s Propertyを持たないことを証明できたら、すべてのArchimedean solidがそれを持つわけではないと最初に証明できるかもね。
この問題って、3D空間で二つの形状が衝突するかどうかを探す問題と関係あるんじゃない？シミュレーションやゲームでは、たくさんの形状についてそれをできるだけ速く計算する必要があるから、幾何学で最も研究されてる問題の一つだろうね。
この問題のテストは、複数の向きから形状の2D投影を見つけて、一つがもう一つの中に収まるかを探すだけだから、たぶん少しシンプルだね。技術的には、投影以外に3D比較は必要ないんだ。
ほとんどの形状はブルートフォースでPropertyが真だと証明するのは簡単だけど、Rupert’s Propertyを持たないことや、すごく特殊でぴったりな場合に持つことを証明するのが難しいんだ。無限の可能性は試せないからね。
わぁ、この動画すごいよくできてるね。たくさんの素晴らしい洞察があって、ちょうどいい簡略化レベルだし、めちゃくちゃ面白いよ！
本当に特別な、素晴らしいチャンネルだね。
この記事の詳しさが本当に好きだよ。実際に何をしたのか理解できたし、数学的な詳細に深く入り込みすぎて読みにくいってことはなかったね。
プリンス・ルパートって「プリンス・ルパートの滴」でしか知らなかったけど、実はそれ以外にもいくつも輝かしいキャリアがあったんだって！
https://en.wikipedia.org/wiki/Prince_Rupert_of_the_Rhine
彼の軍歴はまさにジェットコースターだね。機転が利くけど、若くてせっかちな面も。規律があって昇進したけど、歴史の流れで色々な経験をしたんだね。軍事以外にも全然違う分野で功績を残してるのが本当にすごいよ。
この話、以前にもHNで議論されてたよ。
https://news.ycombinator.com/item?id=45057561
論文も議論されたはずなんだけど、見つからないから間違ってるかも。
こっちでも議論されてたよ:
https://news.ycombinator.com/item?id=45261566
論文は二回投稿されてるね:
https://news.ycombinator.com/item?id=45075566
https://news.ycombinator.com/item?id=45041978
お二人さんありがとう！HNスレッドのまとめだよ:
Rupert’s snub cube and other Math Holes - https://news.ycombinator.com/item?id=45261566 - 2025年9月 (10コメント)
Rupert’s Property - https://news.ycombinator.com/item?id=45057561 - 2025年8月 (23コメント)
まっすぐ通す必要あるのかな？ソファーを角で動かすみたいに、動く形を回転させながら通すシナリオも考えられるよね。記事では「まっすぐ」って言ってるけど、そもそもの賭けでは回転も許されるんじゃないかな。
これは凸多面体についての話でしょ？回転させても意味ないんじゃないかな。
正直よくわかんないんだけど、今Blenderで色々試してるんだ。全然うまくいかないんだけどね。記事にあった卵の形を想像してみて。もし、それが通る時に回転オフセットを変えられたらどうなるんだろう？って考えてるんだ。
僕も同じ疑問を持ってるんだ。ソファーを角で動かす問題は非凸だけど、回転させたり、らせん状に動かせば、頂点と面の接触を避けられるんじゃないかと思ってるんだ。
キューブを頂点から正三角形に通すときって、回転させたくなるでしょ？そういうことだよ。
例えば、太いコルク栓抜きを想像してみてよ。
それは凸じゃないよね。
凸形状が動いている最中に穴を開けられたら、できる切断面は凹になる可能性があるんだって（例1）。この新しい凹の切断面は、回転しない場合じゃ無理なRupertカットチャレンジに必要な空間を確保できるのかな？他の回転方法もあるし、役立つかは不明だね。例1だと、立方体の面を並行に削るのは凹を作らないけど、対角線上に削ると作れるんだ。残念ながら立方体はもう通過できるから、凸の切断面が役立つことはないんだよね。
誰か証明の計算部分を探してるなら、GitHubにSageMathで実装されてるよ: https://github.com/Jakob256/Rupert
素人な質問なんだけど、nopert候補って、Rupertトンネルが作れない球体にどんどん近づいてるだけじゃないの？
うん、面が増えるにつれて見た目は球体っぽくなるよ。でも球体は明らかに/自明に非Rupertだよね。それよりも、凸多面体が非Rupertであるかどうかっていう質問の方が面白いんだよ。
形状が自分自身を通過できなくなるまでに、どれだけ面を追加できるか見るのは面白そうだよ。それか、無限に通過させ続けられるのか、時々nopertsに出くわすのかな？nopertsが徐々に増えて、通過できる形状を見つけるのが難しくなるのかもね。誰にもわからない、調べてみようよ。
トリアキス四面体で言及されてるみたいに、おそらくどんどん許容誤差は厳しくなるだろうね。課題は、パラメータ空間の特定の向きを排除するようなショートカットがないと、面を追加するほど計算が大変になることだよ（彼らは、一つの影、投影が大きく突き出ている場合、その突き出しを別の影に入れるには大きな回転が必要になり、そのためそのような回転角度をすべて除外でき、チェックすべき向きの数を減らせるってわかったんだ）。面が増えて対称性が増すと、候補をテストするのがすごく難しくなるけど、君のアイデアは面白いね。
でも、大事なことに、それらは違うんだよ！
「Tom7」のファンなら、これについて最近よく知ってるはずだよ！彼が9月16日にRupert問題とNopertを見つけようとするビデオを出したんだ！ https://www.youtube.com/watch?v=QH4MviUE0_s これと「結び目予想」の反証もあって、最近すごく面白い数学の進展があったね！TomはSIGBOVIKの論文に合わせて、楽しくて面白いトピックや個人的なプロジェクトの物語についての素晴らしいビデオを定期的にリリースしてるんだ。Fooneとかから得られる、コンピューターに変なことをさせて楽しむ、あの奇妙なコンピューターコメディを持ってるよ。
彼の動画はマジ最高！めちゃ面白いし、他にはない深さがあって、いい意味で型破りな学術的アプローチが最高なんだ。特に「カーニングが計算不能な問題」って動画は厳密で見る価値ありだよ。彼の動画は全部オススメ！
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このテーマと詳しさの記事がある雑誌が欲しいな。特に子ども向けで、ネットの邪魔なしに読めるやつ。Quantaはオンラインだけみたいだけど、他に紙媒体で似た出版物って知ってる人いる？
Nautilusっていう雑誌が似たような記事出してるよ。ちょっと難易度は低いけどね。アートも良い感じだよ。
Scientific American、とかどう？
あー、でもこの多面体、平らな面が2つあるからD&Dには使えないじゃん！頑張れ、rhombicosidodecahedron！
確かにそれもアリかもね。Rupertの元の推測って、多面体のサイコロって指定してたんだっけ？たぶん対称性が法則の要件の一つなんだろうなぁ。
バカな質問でごめんね。でもなんでこんなこと研究するの？ただの趣味？それとも数学の研究って結局は役に立つのかな？これって工学っていうより、アートに近い気がするんだけど。
数学者って、行列変換とか表面の法線について何十年も抽象的に研究してたんだけど、1980年代になって、その数学が突然Computer Graphicsの分野でめちゃくちゃ実用的で重要になったんだよ。
この抽象的な研究に誰がお金出してるの？「将来的に」役立つのは分かるけど、研究者って今すぐお金が必要でしょ？これってOpen Sourceみたいに、ただやりたいからやってるだけなのかな？
問題そのものは応用がなくても、解決に使われた技術は応用できるかもね。それに、ただの好奇心で研究するのも全然アリだよ。たくさんのすごい科学的発見って、一見すると何の役にも立たなさそうな研究から生まれたんだから。
こういう研究って、Velcroとか自己ロック機構みたいな実用的な発明につながることもあるんだよね。誰かが使い道を見つけたら、ささやかながら世界をちょっと変えられるかも。
数学って、ただの楽しみや好奇心でやるのも、特定の目標に向かってやるのもあるよね。どっちも結果的に役立ったり役立たなかったりするし、将来何がめっちゃ役立つかなんて、ほとんど予測不可能だよ。たまに、マニアックな数学の使い道が100年以上経ってから発見されることだってあるんだからね。
G.H. Hardyだったと思うけど、「数学の唯一の悪い点は、それが役に立つことだ」って言ってたのを思い出したよ。
George Booleも、これについて何か意見があるかもしれないね。
1つ例を見つけるのがこれほど大変だったんだから、次の研究結果はきっと「ほとんどすべての凸多面体は、自分自身を通り抜けることができない」って内容になるんじゃないかな。
「オーストリアの交通システム会社 A&R Tech の研究者」ってあったけど、オーストリアの運送会社がこんな研究してるの！？
すごいと感動したけど、同時に混乱もしてるよ。
彼らの特許庁の研究者たちがどんなことしてるか見てみたらどう？
この論文の著者たち、どっちも趣味で研究してるみたいだよ（でも、片方は修士、もう片方は博士号を持ってる訓練された数学者／統計学者なんだけどね）。
triakis tetrahedron のフィット感が本当にクレイジーなくらいピッタリだよ！
https://youtu.be/jDTPBdxmxKw
ドーナツは非凸だよね。記事のタイトルがその大事な言葉を抜かしてるよ。
なんか直感的に無理そうって思っちゃうのは、「自分を貫通できる」ってのが「ある向きで、辺の長さが別のインスタンスより大きくない」って定義されてるように聞こえるからかな。同じ向きなら同じ形のものは貫通できるはずだもんね。
基準は「半分に切らずに自分を貫通できる」ことだよね。多分それは「オブジェクトを完全に消さずに」って意味に広がるんだろうな。同じ向きで貫通したらオブジェクトは消えちゃうもん。
注目すべきは、球体はRupertの法則を満たさないよ（でもサッカーボールは違う…小さい切れ目なら通れるから）。
「球はRupertじゃないけどサッカーボールは違う…」ってコメントに対してだけど、サッカーボールって球体だよ。表面に多角形がデザインされてるだけ。色がついてるからって球体じゃなくなるわけじゃないでしょ。
この話では、サッカーボールは平面の面を持つってことになってるんだね（実際は空気圧で膨らんでて平面じゃないけど）。
俺の直感は全然違うんだ（そしてそれが現実と合ってるみたい）。凸多面体って非対称なものもあり得るってことを知っとくといいよ。
うん、その考え方だと、基底ケースがある半順序みたいに聞こえるね。もし角度Aが角度Bを通れて、角度Bが角度Cを通れるとしたら…
次のVoyagerみたいな探査機に、この形を金かチタンで作って積むべきだろ。Einstein-tileも入れよう。他には何が良いかな？最近のStand-up Mathsでやってた、足し算的じゃない「ほどけない結び目」も良いかもね。僕らが見つけた宇宙のイースターエッグ全部入れようぜ。
まだ進化してない宇宙人が、”不可能”な事実がいっぱい詰まった箱を見つけるって想像してみてよ。俺たちにとってのそういう箱って、どんなものが入ってるんだろうね。
もし未発達な種族だったら、自分たちが「不可能」だとすら気づかないだろうね。人間レベルの種族にとっては、これはただの仮説への反例になるだけさ。
Voyager probeを迎撃できるほど発達してるのに、未発達な種族って矛盾してるよな（大気圏再突入で生き残るとは思えないけど）。
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単純な球体って、自分自身を貫通できないっていう条件を自明に満たしてるんじゃないの？
そのパズルは凸多面体にしか適用されないんだよ。
記事には「多様な形状は扱いづらいから、数学者は凸多面体に焦点を当てる傾向がある」って書いてあるね。「焦点を当てる傾向がある」ってことは排他的じゃない示唆だけど、君の言う通り、Rupert propertyは凸多面体にしか適用されないみたい。だから、球体も形だと考えると、記事のタイトルと本文は少なくとも不完全だよ。
球体は凸多面体じゃないよ。
面の数を増やしていけば、極限では球体になるよ。
確かに、πが有理数の列の極限であるようにね。でも、有理数には当てはまるけどπには当てはまらない性質ってたくさんあるでしょ。
球体に近づくにつれて、Rupertnessは失われるんだよ。
極限での振る舞いは直感に反することがあるよね。多面体の頂点を増やしていくと、体積や表面積のように球体のそれに近づく性質もあれば、表面の不連続性の数みたいにどんどん離れていくものもある。Rupertnessがどうなるか、あるいは頂点追加に対して単調に変化するのかは全然自明じゃないね。
球体は面がないから凸多面体じゃないでしょ。
訂正ね、球体は面が無限にあるから凸多面体じゃないって！ 凸多面体は有限の面を持つ必要があって、アペイロトープは認められてないんだよ。
球体に面はないんだから、’無限の’面なんて表現は間違いだよ。
凸多面体って、有限の多面体であることが必須なんだってさ。
形式的な証明が理解できないのは変な感じ。正確性は否定しないけど、GPTが全部やった今回のは、数学者がプログラムを理解できた4色定理とは全然違うね。
もしGPTがなくなったら、誰もこの形式化を再現できないだろうし、ブレイクスルーがあっても気づかないかも。
GPTってどこに書いてあるの？Noperthedronの証明でコンピュータを使った部分は、人間が書いたSagemathプログラムだよ: https://github.com/Jakob256/Rupert
Erdoš予想の証明と勘違いしてない？: https://borisalexeev.com/pdf/erdos707.pdf
ああ、ごめん、君が正しかった！
昨日両方読んだから、記憶が混ざってたよ。なんか’おかしい’って感じてたのはそれだったんだ。
長くて情報が失われやすいLLMに対する僕の考えも、見直さないとね。
他の図形はアニメーションあるのに、見つかったやつだけ見せてくれないのはなんで？
関連するDimensionsの章はここ: https://dimensions-math.org/Dim_CH2_E.htm
動画もあるよ: https://www.youtube.com/watch?v=AhM9JH5GNiI&list=PL3C690048E…
Noperthedronって、’Rupert’と’nope’を組み合わせた’Nopert’から来てるんだって。
数学にユーモアのセンスもあっていいね。
Tom7はマジで面白いし、技術的な深みもハンパないし、ユーモアも最高なんだよね。一日中でも彼のこと布教したい！関連動画：https://www.youtube.com/watch?v=QH4MviUE0_s
そこまで関連してないけど、個人的にはこっちの方がお気に入り：https://www.youtube.com/watch?v=ar9WRwCiSr0
この論理的な間違いにはイライラしたよ。「nopert」は「no+Rupert」じゃなくて、「nope+Rupert」なら「nopepert」になるはずだろ。
全くその通り！ポートマントーは荷物を持ってくれるもんだよ。
Tom7はポートマントーに関する動画もいくつか出してるよ。
これ、実はすごく面白いポイントなんだよね。英語のポートマントーは、普通は一つの単語全部と、もう一つの単語の半分を組み合わせるんだ。「nopert」も「nope」全部と「Rupert」の半分で、このパターンにピッタリ合う。
面白いのは、中国語のポートマントーだと、両方の単語を半分ずつ組み合わせるのが標準的な形なんだよ。どんな言語でも、ポートマントーの作り方を予測できるくらい、その言語の構造についてどれだけ知っておかないといけないかって考えると、ゾクゾクするね。
英語のポートマントーって、片方の単語を丸ごと含んでることは滅多にないんだけどな。Motel、smog、brunch、cronut、spork、sitcom、cyborg、Velcroとかさ。
「sitcom」みたいなのがポートマントーだって知らなかったよ！てっきり、一つの単語の始まりと別の単語の終わりを使うのが条件だと思ってたんだ。TIL！
いや、違うよ。例えばWiktionaryだと、Motelは「blend」って分類されてるけど、sitcomは「shortening」って分類されてるんだよ。
Motelもsitcomもポートマントーだよ。定義するときに最もよく使われる例の一つだし。「blend」や「shortening」はポートマントーの同義語で必要条件ではあるけど、十分条件じゃないんだよ。君の誤りってのは、「blendだからポートマントーじゃない」って言っちゃってるところにあるね。全てのポートマントーはblendだし、shorteningでもあるけど、全てのblendやshorteningがポートマントーとは限らないんだ。
