数学とアートの融合！奇妙で美しいストレンジアトラクターの3D可視化に思わず見入ってしまう

サイドプロジェクトでStrange Attractors(https://blog.shashanktomar.com/posts/strange-attractors)をthree.jsで作ったんだ。プログラミング初期の「数学で遊ぶ」感覚を思い出したよ。特にGPTにSimone Attractorの3D化を頼んだやつが最高！パラメータも全部いじれるから、数学アートに興味ある人はぜひ試してフィードバックちょうだい！

この可視化は3D位相空間の素晴らしさを教えてくれるけど、＞3Dの世界の豊かさを見逃してるよな！＞3Dをどう可視化するか（断面図やLagrangian粒子に色をつけるとか）考えるの楽しい。
これ、BoltzmannとかGibbsが位相空間について議論してた統計力学の初期を思い出すわ。Shashank、素晴らしい仕事だね！

『Flatland』や『4D toys』みたいな作品から、人間って3次元を超えるものを完全に理解できる神経回路がないって結論に至ったんだ。推論はできても、本当に掴むことはできない。
3次元ですら、視覚や触覚の情報から2.5次元的に構築してるんじゃないかな。3Dの思考能力自体が、他の動物と比べてすごい適応能力だと思うよ。

俺はKlein bottleを4Dで可視化できたし、3Dオブジェクトも楽勝。でも色は苦手で、たまに赤が briefly 見えて驚くんだ。Aphantasiaのテストじゃ3D形状は描けるけど、質感や色は無理。
人って内面体験がこんなに違うんだな。4D可視化がどれだけ一般的かは分からないけど、概念に触れて練習すれば可能だと思ってるよ。

フランスの盲目の数学者Bernard Morinは、球体を裏返すsphere eversionの初の可視化で超有名だよ。Stephen Smaleの証明とArnold Shapiroのアイデアがベースになってるんだ。
彼は「Morin surface」ってモデルとか、一連のモデルを作ってそのプロセスを示したんだよ。
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Morin

人間の海馬には、3D空間での位置や運動量を司る特別なニューロンのクラスターがあるんだ。これらは現実と物理的に対応してるから、かなりハードワイヤリングされてる。
高度な訓練やNootropicsで再利用できるかもしれないけど、多分無理。
それより、メタファーや数学みたいな抽象化を使って、他の脳部位を活用する方がいいかもね。

4Dを視覚化できるってことは、互いに垂直な4つの軸を想像できるってことだよね？
俺には全く無理だし、人間の脳には不可能だと思ってたよ。もし俺が間違ってたら、それはそれでめちゃくちゃ面白いんだけどな。

Miegakureをずーっと待ってるんだ。

少なくとも4Dに関してはさ、3D-over-timeを4次元モデルって考えない？
ここで見られるような（時間の）進化を見ることで、直感を養えるんじゃないかな？

4Dの面白いところは、単に次元が一つ増えるだけじゃなくて、回転の自由度も増えることなんだよ。
時間じゃその回転は得られないんだ（相対論的になるまで待っても双曲回転だし、ユークリッド回転じゃないんだ）。

だよね！波は時間ベクトル（周波数）があるから、4D空間でしか存在しないんだよ。

僕が話してるのはこんな感じのことだよ: https://en.wikipedia.org/wiki/Rotations_in_4-dimensional_Euc… 時間で切断超平面を掃引するか、固定された投影を回転させるか、時間で切断するか、どれか一つしか同時にできないんだ。

AIが似たような環境で訓練すれば、この直感を学べると思う？

僕たちのニューロンを訓練できるかな？逆さまの画像に適応した視覚の実験みたいに、VR headsetから得られる4Dデータを理解するように、脳って適応できるのかな？

4D宇宙の理解を深める訓練は可能だと思うけど、それは”ソフトウェアエミュレート”みたいなもんで、ハードウェアアクセラレーションがないんだ。僕らは3Dのハードウェアしか持ってないし、ハードウェアを変えなきゃ更新できないからね。

将来のBrain-Computer Interfacesが進歩すれば、4Dの視覚信号を直接脳に送れるようになるかもね。

うん、脳を訓練して高次元をより良く知覚できるようになるって信じてるよ。SF小説のNevernessにすごい描写があって、パイロットが宇宙船のコンピュータと心と体を融合させて、ハイパースペースを視覚化して航行するんだ。

いい点だね、あり得るかも。でもそれを僕らに伝え返すのは難しいかもね。
ふむ…もし未来のAIが、僕らが理解できない次元にデータを隠したらどうする？

AIはすでにN次元空間で動いているよ…それが今起こってないなんて、誰が言えるんだろうね？

すごいね :) 25年以上前、ティーンエイジャーの頃に、こんなカオスアトラクタの可視化ツールを2Dで作ったんだけど、「視覚化する代わりに、オーディオにレンダリングしたらどうだろう？」って思ったんだ。周波数は極角に、振幅は大きさに相関させたと思う。WAV formatの書き方を学んで、それがEndiannessとの出会いだったけど、結果はSF映画のコンピュータ音みたいに、ランダムだけど不協和音じゃないビープ音やブープ音になったよ！

この手の話だと、EurorackモジュールにStrange Attractorに特化したものが少なくとも2つあるんだって！どっちも、予測不能だけど周期的な動きをサウンドに加えられてめっちゃ楽しいらしいよ。
・Hypster by Nonlinear Circuits (https://modulargrid.net/e/nonlinearcircuits-ian-fritz-s-hyps…)
・Orbit 3 by Joranalogue (https://modulargrid.net/e/joranalogue-audio-design-orbit-3)

最近、J. C. Sprott著の「Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos」（1993）っていう面白い本を買ったんだ！著者のウェブサイト[2]からオンラインで丸ごとダウンロード[1]できるよ。
派手な表紙にフロッピーディスク（！）付き、3Dメガネまで付いてて（中古だから手元にはなかったけど）、当時の典型的な本って感じ。プログラムのほとんどがBASIC（昔のWindowsではグラフィックが作りやすかったのかな？）で、一部C言語だったのは意外だったな。J. C. Sprottはまだウィスコンシン大学マディソン校で教えてるみたいだね。
[1] https://sprott.physics.wisc.edu/fractals/booktext/SABOOK.PDF
[2] https://sprott.physics.wisc.edu/

その本のソフトウェアはこちらだよ！
https://sprott.physics.wisc.edu/fractals/bookdisk/

これ、めっちゃクールじゃん。昔、高校生の時（ジュラ紀）にアトラクターでよく遊んでたんだ。残念ながら486PCだと低解像度でも描画に20～30分かかってたんだよね。でも、これはリアルタイムで3D表示できるなんてすごい！
それでも、アトラクターはシステムの見方、つまり軌道や不安定性なんかに強い影響を与えてくれたよ。

Fractintは最高！
https://fractint.org/

「数学的に正しいかわからない」って話だけど、高次元への「正しい」拡張は必ずしもあるわけじゃないんだ。たくさんあるかもしれないし、全くないかもしれない。どちらにしても、「十分に近い」ものはそれ自体で面白いものになりうるよ。
何か具体的に試したいなら、3D Mandelbrot集合を作ろうとした人たちの冒険を探してみるといいかも。いくつか良い解説記事を見たことがあるよ。最後に調べたのは何年も前だから、誰かが「正しい」解決策にたどり着いたかはわからないけど、間違いなくすごく興味深い可能性が見つかってる。

何年か前にアトラクターに出会って、アニメーションをレンダリングするデスクトップアプリケーションをまるごと作っちゃったんだ！
https://youtu.be/8ttGBReE5gg

これ、めっちゃクールだね

「パラメーターaの小さな変化が、粒子の軌道やアトラクター全体の形に大きく異なる結果をもたらし、バタフライ効果が作用しているのが観察できる」って記述は、ちょっと不正確だと思うな。バタフライ効果は、位相空間における2つの近い状態が大きく異なる状態へと進化することなんだ。でも、パラメーターaは状態じゃないよね。パラメーターaを変更することでバタフライ効果を見るには、システムが落ち着いてからパラメーターaを少し変化させ、その後元に戻す必要があるんだ。変更中の進化が状態への摂動として作用するからね。
代わりに、アトラクターがパラメーターの関数として質的に変化するのを示すのは、相転移に近い現象だと思う。

数学とか計算とか物理とかどうでもいい！今まで見た中でぶっちぎりで一番美しいものだよ、これ。